---
route: /task/matura-czerwiec-2026-27
title: Zadanie 27 - Matura czerwiec 2026
source: Matura czerwiec 2026
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie 27 - Matura czerwiec 2026

**Źródło:** Matura czerwiec 2026
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Odcinek \(AD\) jest wysokością walca, a odcinek \(AB\) jest średnicą podstawy walca. Odcinek \(BD\) ma długość \(4\sqrt{3}\). Miara kąta \(ABD\) jest równa \(30^\circ\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=18\sqrt{3}\pi\), \(P_c=18\pi+12\sqrt{3}\pi\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Trójkąt prostokątny \(ABD\).

Odcinek \(AD\) jest wysokością walca, więc jest prostopadły do podstawy, a w szczególności do średnicy \(AB\). Trójkąt \(ABD\) jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku \(A\). Niech \(r\) oznacza promień podstawy, a \(H\) wysokość walca. Wtedy \(|AB|=2r\) i \(|AD|=H\).

Krok 2. Obliczenie wysokości walca.

$$\begin{aligned}&\sin 30^\circ=\frac{H}{4\sqrt{3}}\\ \iff{}&H=4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=2\sqrt{3}\end{aligned}$$

Krok 3. Obliczenie promienia podstawy.

$$\begin{aligned}&\cos 30^\circ=\frac{2r}{4\sqrt{3}}\\ \iff{}&2r=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\\ \iff{}&r=3\end{aligned}$$

Krok 4. Obliczenie objętości.

$$V=\pi r^2H=\pi\cdot 3^2\cdot 2\sqrt{3}=18\sqrt{3}\pi$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.

$$\begin{aligned}P_c&=2\pi r^2+2\pi rH\\ &=2\pi\cdot 9+2\pi\cdot 3\cdot 2\sqrt{3}\\ &=18\pi+12\sqrt{3}\pi\end{aligned}$$

**Odpowiedź:** \(V=18\sqrt{3}\pi\), \(P_c=18\pi+12\sqrt{3}\pi\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2026