---
route: /task/matura-czerwiec-2026-20
title: Zadanie 20 - Matura czerwiec 2026
source: Matura czerwiec 2026
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie 20 - Matura czerwiec 2026

**Źródło:** Matura czerwiec 2026
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(AB\), a punkt \(E\) leży na boku \(AC\). Odcinek \(BE\) jest środkową trójkąta \(ABC\), a odcinek \(CD\) jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki \(DB\) oraz \(DE\) mają równe długości (zobacz rysunek). Wykaż, że \(|\sphericalangle CAB|=2\cdot|\sphericalangle ABE|\).

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Oznaczenia.

Niech \(|\sphericalangle CAB|=\alpha\) oraz \(|\sphericalangle ABE|=\beta\). Teza ma postać \(\alpha=2\beta\).

Krok 2. Trójkąt \(ADE\) jest równoramienny.

Odcinek \(CD\) jest wysokością, więc trójkąt \(ADC\) jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku \(D\). Odcinek \(BE\) jest środkową, więc punkt \(E\) jest środkiem przeciwprostokątnej \(AC\) tego trójkąta. Środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, zatem:

$$|AE|=|DE|=|CE|$$

Trójkąt \(ADE\) jest więc równoramienny i \(|\sphericalangle ADE|=|\sphericalangle EAD|=\alpha\).

Krok 3. Trójkąt \(DBE\) jest równoramienny.

Z równości \(|DB|=|DE|\) wynika, że kąty przy podstawie \(BE\) są równe: \(|\sphericalangle DEB|=|\sphericalangle DBE|=\beta\).

Krok 4. Kąt zewnętrzny trójkąta \(DBE\).

Kąty \(ADE\) i \(EDB\) są przyległe, więc kąt \(ADE\) jest kątem zewnętrznym trójkąta \(DBE\) przy wierzchołku \(D\). Miara kąta zewnętrznego jest równa sumie miar dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych:

$$\begin{aligned}\alpha&=|\sphericalangle ADE|\\ &=|\sphericalangle DEB|+|\sphericalangle DBE|\\ &=\beta+\beta=2\beta\end{aligned}$$

**Wniosek:** \(|\sphericalangle CAB|=\alpha=2\beta=2\cdot|\sphericalangle ABE|\), co należało wykazać.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2026