---
route: /task/matura-czerwiec-2026-08
title: Zadanie 8 - Matura czerwiec 2026
source: Matura czerwiec 2026
category: Równania i nierówności
points: 3
type: open
---

# Zadanie 8 - Matura czerwiec 2026

**Źródło:** Matura czerwiec 2026
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dane jest równanie \[\frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x},\] gdzie \(x\ne 0\) i \(x\ne 1\). Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału \(\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)\). Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x=-\frac{3}{4}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Dziedzina a badany przedział.

Liczby \(0\) i \(1\) nie należą do przedziału \(\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)\), więc założenia \(x\ne 0\) i \(x\ne 1\) niczego w nim nie wykluczają.

Krok 2. Przekształcenie równania do postaci kwadratowej.

Po pomnożeniu obu stron przez \((x-1)\cdot 3x\ne 0\) (mnożenie na krzyż) równanie przyjmuje postać:

$$\begin{aligned}(3x+4)\cdot 3x&=(x-1)\cdot(x+3)\\ 9x^2+12x&=x^2+2x-3\\ 8x^2+10x+3&=0\end{aligned}$$

Krok 3. Rozwiązanie równania kwadratowego.

$$\begin{aligned}\Delta&=10^2-4\cdot 8\cdot 3\\ &=100-96=4\\ \sqrt{\Delta}&=2\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}x_1&=\frac{-10-2}{2\cdot 8}=-\frac{12}{16}=-\frac{3}{4}\\ x_2&=\frac{-10+2}{2\cdot 8}=-\frac{8}{16}=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$

Krok 4. Wybór rozwiązań z przedziału \(\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)\).

Ponieważ \(-\frac{3}{4}=-\frac{9}{12}\lt -\frac{8}{12}=-\frac{2}{3}\), liczba \(-\frac{3}{4}\) należy do tego przedziału. Natomiast \(-\frac{1}{2}\gt -\frac{2}{3}\), więc liczba \(-\frac{1}{2}\) do niego nie należy.

**Odpowiedź:** \(x=-\frac{3}{4}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2026