---
route: /task/matura-czerwiec-2026-05
title: Zadanie 5 - Matura czerwiec 2026
source: Matura czerwiec 2026
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: open
---

# Zadanie 5 - Matura czerwiec 2026

**Źródło:** Matura czerwiec 2026
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\ge 0\) liczba \(7^n+7^{n+1}+7^{n+2}\) jest podzielna przez \(19\).

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Rozpisanie potęg o wspólnej podstawie.

Z własności działań na potęgach \(7^{n+1}=7^n\cdot 7\) oraz \(7^{n+2}=7^n\cdot 7^2\), więc:

$$\begin{aligned}&7^n+7^{n+1}+7^{n+2}=\\ &=7^n+7^n\cdot 7+7^n\cdot 7^2\end{aligned}$$

Krok 2. Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias.

$$\begin{aligned}&7^n+7^n\cdot 7+7^n\cdot 7^2=\\ &=7^n\cdot\left(1+7+7^2\right)=\\ &=7^n\cdot 57=19\cdot 3\cdot 7^n\end{aligned}$$

Krok 3. Uzasadnienie podzielności.

Dla każdej liczby całkowitej \(n\ge 0\) liczba \(3\cdot 7^n\) jest liczbą całkowitą, więc badana liczba jest iloczynem liczby \(19\) i liczby całkowitej.

**Wniosek:** Liczba \(7^n+7^{n+1}+7^{n+2}\) jest podzielna przez \(19\) dla każdej liczby całkowitej \(n\ge 0\), co należało wykazać.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2026