---
route: /task/matura-czerwiec-2025-30
title: Zadanie matura-czerwiec-2025-30
source: Matura czerwiec 2025
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2025-30

**Źródło:** Matura czerwiec 2025
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \(94{,}5\). Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym \(4\). Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=27\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.

Skoro długości krawędzi prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(q=4\), to moglibyśmy zapisać, że długości krawędzi wyglądają następująco:

Pierwsza krawedź: \(x\)

Druga krawedź: \(4x\)

Trzecia krawedź: \(16x\)

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu.

Pole powierzchni całkowitej obliczamy ze wzoru:

$$P_{c}=2ab+2ac+2bc$$

Wiemy, że pole powierzchni całkowitej jest równe \(94,5\), zatem podstawiając znane nam dane, otrzymamy:

$$2\cdot x\cdot4x+2\cdot x\cdot16x+2\cdot4x\cdot16x=94,5 \\

8x^2+32x^2+128x^2=94,5 \\

168x^2=94,5 \\

x^2=0,5625 \\

x=0,75 \quad\lor\quad x=-0,75$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ długość krawędzi musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(x=0,75\).

Tym samym możemy stwierdzić, że pierwsza krawędź prostopadłościanu ma długość \(0,75\), druga ma \(4\cdot0,75=3\), a trzecia ma \(16\cdot0,75=12\).

Krok 3. Obliczenie objętości prostopadłościanu.

Znając długości wszystkich trzech krawędzi prostopadłościanu, możemy już bez problemu obliczyć objętość tej bryły:

$$V=abc \\

V=0,75\cdot3\cdot12 \\

V=27$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2025