---
route: /task/matura-czerwiec-2025-29
title: Zadanie matura-czerwiec-2025-29
source: Matura czerwiec 2025
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2025-29

**Źródło:** Matura czerwiec 2025
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu \[ \mathcal{O}:(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=9 \] Okrąg \(\mathcal{K}\) jest obrazem okręgu \(\mathcal{O}\) w symetrii osiowej względem osi \(O y\) układu współrzędnych. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg \(\mathcal{K}\) jest określony równaniem

## Odpowiedzi

- **A.** \((x+1)^{2}+(y+2)^{2}=9\)
- **B.** \((x+1)^{2}+(y-2)^{2}=9\)
- **C.** \((x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9\)
- **D.** \((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9\)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-czerwiec-2025-29.png]

Krok 2. Odczytanie współrzędnych środka okręgu \(O\).

Okrąg o środku w punkcie \(S=x_{S}, y_{S}\) i promieniu \(r\) możemy opisać równaniem:

$$(x-x_{S})^2+(y-y_{S})^2=r^2$$

W takim razie możemy z treści zadania odczytać współrzędne środka okręgu \(O\):

$$(x+1)^2+(y-2)^2=9 \\

(x-(-1))^2+(y-2)^2=9$$

Widzimy wyraźnie, że środkiem będzie punkt \(S=(-1,2)\).

Krok 3. Ustalenie współrzędnych środka okręgu \(K\).

Skoro okrąg \(K\) powstał w wyniku przekształcenia okręgu \(O\) względem osi \(Oy\) (czyli jest tak jakby odbiciem lustrzanym względem osi \(Oy\)), to znaczy że współrzędna \(x\) środka tego okręgu musi mieć zmieniony znak na przeciwny, a współrzędna \(y\) będzie niezmieniona. To prowadzi nas do wniosku, że w okręgu \(K\) środkiem będzie punkt o współrzędnych:

$$S_{K}=(1,2)$$

Krok 4. Zapisanie równania okręgu \(K\).

Wiemy już, że okrąg ma ma swój środek w punkcie o współrzędnych \(S_{K}=(1,2)\). Promień okręgu nie uległ zmianie, więc \(r^2\) będzie takie samo jak w pierwszym okręgu \(O\). To oznacza, że okrąg \(K\) jest określony równaniem:

$$(x-1)^2+(y-2)^2=9$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2025