---
route: /task/matura-czerwiec-2025-22
title: Zadanie matura-czerwiec-2025-22
source: Matura czerwiec 2025
category: Trygonometria
points: 1
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2025-22

**Źródło:** Matura czerwiec 2025
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) oraz \(\beta\) (zobacz rysunek). Sinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{7}\). Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac37\). P F Cosinus kąta \(\beta\) jest równy \(\frac47\). P F

**Prawidłowa odpowiedź:** FP

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.

Moglibyśmy podejść do tego zadania na różne sposoby, ale chyba takim najciekawszym byłoby wykorzystanie tutaj jedynki trygonometrycznej - zdanie będzie prawdą tylko wtedy, gdy \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\). Sprawdźmy zatem ile będzie równy \(sin^2\alpha+cos^2\alpha\) w przypadku gdy \(sin\alpha=\frac{4}{7}\) i gdy \(cos\alpha=\frac{3}{7}\):

$$\left(\frac{4}{7}\right)^2+\left(\frac{3}{7}\right)^2=\frac{16}{49}+\frac{9}{49}=\frac{25}{49}$$

Otrzymana wartość nie jest równa \(1\), a to oznacza, że wartość cosinusa nie jest podana prawidłowo, więc zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.

My już z własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym powinniśmy kojarzyć, że to zdanie jest prawdą. Bardzo dobrze widać to, gdy oznaczylibyśmy sobie długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(\alpha\) jako \(4x\) i przeciwprostokątną jako \(7x\), co dałoby nam właśnie \(sin\alpha=\frac{4}{7}\).

W takim układzie cosinus kąta \(\beta\) będzie równy właśnie \(\frac{4x}{7x}=\frac{4}{7}\), zatem zdanie jest prawdą.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2025