---
route: /task/matura-czerwiec-2025-14
title: Zadanie matura-czerwiec-2025-14
source: Matura czerwiec 2025
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2025-14

**Źródło:** Matura czerwiec 2025
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=3n^{2}-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma \(S_{3}\) trzech początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

A. \(18\)
B. \(24\)
C. \(60\)
D. \(90\)

b) Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny. P F

Wszystkie wyrazy ciągu \((a_{n})\) są liczbami parzystymi. P F

**Prawidłowa odpowiedź:** a) B
b) FP

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**a)** Obliczamy trzy pierwsze wyrazy ciągu:

$$a_{1}=3\cdot1^2-3\cdot1=3-3=0$$

$$a_{2}=3\cdot2^2-3\cdot2=12-6=6$$

$$a_{3}=3\cdot3^2-3\cdot3=27-9=18$$

Suma trzech początkowych wyrazów:

$$S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=0+6+18=24$$

Odpowiedź: B.

**b)** Zdanie 1: Ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny.

Sprawdzamy różnice kolejnych wyrazów: \(a_{2}-a_{1}=6-0=6\) oraz \(a_{3}-a_{2}=18-6=12\). Różnice nie są równe, więc ciąg nie jest arytmetyczny. Zdanie jest fałszem.

Zdanie 2: Wszystkie wyrazy ciągu \((a_{n})\) są liczbami parzystymi.

Zapisujemy wzór w postaci:

$$a_{n}=3n^2-3n=3n(n-1)$$

Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych \(n(n-1)\) jest zawsze parzysty (bo jedna z tych liczb musi być parzysta). Mnożąc liczbę parzystą przez \(3\), wciąż otrzymamy liczbę parzystą. Zdanie jest prawdą.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2025