---
route: /task/matura-czerwiec-2025-13
title: Zadanie matura-czerwiec-2025-13
source: Matura czerwiec 2025
category: Funkcja kwadratowa
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2025-13

**Źródło:** Matura czerwiec 2025
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji kwadratowej \(f\) przechodzi przez punkt \((2,15)\). Osią symetrii tego wykresu jest prosta \(x=-1\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(1\). Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(f(x)=3(x+1)^2-12\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego.

Jedną z własności parabol jest fakt, iż miejsca zerowe są oddalone o jednakową odległość od osi symetrii. Wiemy, że osią symetrii jest prosta o równaniu \(x=-1\), a więc pierwsze miejsce zerowe \(x=1\) jest oddalone o \(2\) jednostki w prawo. W takim razie drugie miejsce zerowe będzie oddalone o dwie jednostki w lewo, czyli tym samym będzie to \(x=-3\).

Krok 2. Zapisanie wzoru w postaci iloczynowej.

Znając miejsca zerowe, możemy przystąpić do zapisania wzoru funkcji w postaci iloczynowej:

$$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \\

f(x)=a(x-1)(x-(-3)) \\

f(x)=a(x-1)(x+3)$$

Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika kierunkowego \(a\). Poznamy go podstawiając współrzędne punktu, przez który przechodzi wykres tej funkcji, czyli \((2,15)\). W takim razie:

$$15=a\cdot(2-1)\cdot(2+3) \\

15=a\cdot1\cdot5 \\

15=5a \\

a=3$$

Tym samym nasza funkcja będzie się wyrażać wzorem:

$$f(x)=3(x-1)(x+3)$$

Krok 3. Wyznaczenie wierzchołka paraboli.

Do zapisania postaci kanonicznej będziemy potrzebować współrzędnych wierzchołka paraboli \(W=(p,q)\). Tutaj od razu możemy stwierdzić, że pierwsza współrzędna musi pokrywać się z osią symetrii, ponieważ ta oś zawsze przechodzi przez wierzchołek, a więc od razu możemy zapisać, że \(p=-1\). Chcąc poznać współrzędną \(q\), wystarczy podstawić teraz \(x=-1\) do wzoru naszej funkcji, zatem:

$$f(-1)=3\cdot(-1-1)\cdot(-1+3) \\

f(-1)=3\cdot(-2)\cdot2 \\

f(-1)=-12$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(W=(-1,-12)\).

Krok 4. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.

Postać kanoniczną zapisujemy jako:

$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Znając współrzędne wierzchołka paraboli i wiedząc, że \(a=3\), możemy przystąpić do zapisania wzoru w postaci kanonicznej:

$$f(x)=3(x-(-1))^2+(-12) \\

f(x)=3(x+1)^2-12$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-737.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2025