---
route: /task/matura-czerwiec-2025-05
title: Zadanie matura-czerwiec-2025-05
source: Matura czerwiec 2025
category: Liczby rzeczywiste
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2025-05

**Źródło:** Matura czerwiec 2025
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(a\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(1\), i dla każdej liczby całkowitej \(b\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(4\), liczba \(a^{2}-b^{2}\) jest podzielna przez \(5\).

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Liczbę \(a\) moglibyśmy zapisać jako \(5x+1\), z kolei liczbę \(b\) jako \(5y+4\) (gdzie \(x\) oraz \(y\) są liczbami całkowitymi). Podstawiając teraz te wyrażenia do zapisu \(a^2-b^2\) i korzystając tutaj ze wzorów skróconego mnożenia, otrzymamy:

$$(5x+1)^2-(5y+4)^2= \\

=25x^2+10x+1-(25y^2+40y+16)= \\

=25x^2+10x+1-25y^2-40y-16= \\

=25x^2+10x-25y^2-40y-15= \\

=5\cdot(5x^2+2x-5y^2-8y-3)$$

Wartość w nawiasie jest na pewno liczbą całkowitą, a piątka wyciągnięta przed nawias oznacza, że całe wyrażenie na pewno będzie podzielne przez \(5\), co należało udowodnić.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2025