---
route: /task/matura-czerwiec-2024-40
title: Zadanie matura-czerwiec-2024-40
source: Matura czerwiec 2024
category: Liczby rzeczywiste
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2024-40

**Źródło:** Matura czerwiec 2024
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód \(P\) ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o \(x\) zł, wyraża się wzorem \[ P(x)=(70-x)(20+x) \] gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(x \geq 0\) i \(x \leq 60\). Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-E.

A. \(25\)
B. \(30\)
C. \(45\)
D. \(50\)
E. \(60\)

a) Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba \(x\) jest równa

b) Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy \(800\) zł, gdy liczba \(x\) jest równa

**Prawidłowa odpowiedź:** a) A
b) E

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Ustalenie, kiedy dzienny przychód będzie największy.

\(P(x)\) jest funkcją kwadratową zapisaną w postaci iloczynowej \(P(x) = (70-x)(20+x)\). Po wymnożeniu nawiasów otrzymalibyśmy postać ogólną z ujemnym współczynnikiem przy \(x^2\), więc parabola ma ramiona skierowane do dołu - największa wartość jest w wierzchołku.

Miejsca zerowe z postaci iloczynowej:

$$70 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 70$$

$$20 + x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -20$$

Współrzędna \(p\) wierzchołka to średnia arytmetyczna miejsc zerowych:

$$p = \frac{70 + (-20)}{2} = \frac{50}{2} = 25$$

Przychód będzie największy, gdy \(x = 25\).

Krok 2. Ustalenie, kiedy dzienny przychód wyniesie \(800\) zł.

$$(70-x)(20+x) = 800$$

$$1400 + 70x - 20x - x^2 = 800$$

$$-x^2 + 50x + 600 = 0$$

$$x^2 - 50x - 600 = 0$$

$$\Delta = 2500 + 2400 = 4900$$

$$\sqrt{\Delta} = 70$$

$$x_1 = \frac{50 - 70}{2} = -10, \quad x_2 = \frac{50 + 70}{2} = 60$$

Ujemny wynik odrzucamy (bo \(x \geq 0\)), zatem \(x = 60\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2024