---
route: /task/matura-czerwiec-2024-32
title: Zadanie matura-czerwiec-2024-32
source: Matura czerwiec 2024
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2024-32

**Źródło:** Matura czerwiec 2024
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\). Symetralna odcinka \(A B\) przecina oś \(O x\) układu współrzędnych w punkcie \(P\). Oblicz współrzędne punktu \(P\) oraz długość odcinka \(A P\). Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P=\left(\frac{9}{4},0\right)\), \(|AP|=\frac{5}{4}\sqrt{41}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\).

Środek odcinka \(AB\) wyznaczamy ze wzoru:

$$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{2+10}{2}; \frac{8+2}{2}\right) = (6; 5)$$

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).

Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\):

$$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2-8}{10-2} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$$

Podstawiając współrzędne punktu \(A\) do \(y = ax + b\):

$$8 = -\frac{3}{4} \cdot 2 + b$$

$$b = 8 + \frac{3}{2} = \frac{19}{2}$$

Prosta \(AB\): \(y = -\frac{3}{4}x + \frac{19}{2}\).

Krok 3. Wyznaczenie symetralnej odcinka \(AB\).

Symetralna jest prostopadła do \(AB\) i przechodzi przez środek \(S = (6, 5)\). Współczynnik kierunkowy symetralnej:

$$a_s = \frac{4}{3}$$

bo \(-\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = -1\).

Podstawiając \(S = (6, 5)\):

$$5 = \frac{4}{3} \cdot 6 + b$$

$$5 = 8 + b$$

$$b = -3$$

Symetralna: \(y = \frac{4}{3}x - 3\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(P\).

Punkt \(P\) leży na osi \(Ox\), więc \(y = 0\):

$$0 = \frac{4}{3}x - 3$$

$$x = \frac{9}{4}$$

Zatem \(P = \left(\frac{9}{4}, 0\right)\).

Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(AP\).

$$|AP| = \sqrt{\left(\frac{9}{4}-2\right)^2 + (0-8)^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + 64} = \sqrt{\frac{1}{16} + 64} = \sqrt{\frac{1025}{16}} = \frac{\sqrt{1025}}{4} = \frac{5\sqrt{41}}{4}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2024