---
route: /task/matura-czerwiec-2024-29
title: Zadanie matura-czerwiec-2024-29
source: Matura czerwiec 2024
category: Geometria analityczna
points: 3
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2024-29

**Źródło:** Matura czerwiec 2024
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 3
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu

$$(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=5$$

**a)** Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
1. Do okręgu \(\mathcal{O}\) należy punkt o współrzędnych \((-1, -3)\). P / F
2. Promień okręgu \(\mathcal{O}\) jest równy \(5\). P / F

**b)** Okrąg \(\mathcal{K}\) jest obrazem okręgu \(\mathcal{O}\) w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg \(\mathcal{K}\) jest określony równaniem

A. \((x-1)^{2}+(y+2)^{2}=5\)
B. \((x+1)^{2}+(y+2)^{2}=5\)
C. \((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=5\)
D. \((x+1)^{2}+(y-2)^{2}=5\)

**Prawidłowa odpowiedź:** a) PF
b) D

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**a)**

**Zdanie 1. - Prawda**

Jeśli punkt należy do okręgu, to po podstawieniu jego współrzędnych do równania okręgu otrzymamy tożsamość. Podstawiając \(x = -1\) oraz \(y = -3\):

$$(-1-1)^2 + (-3+2)^2 = (-2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$$

Otrzymaliśmy \(5 = 5\), co oznacza, że punkt \((-1, -3)\) należy do okręgu. Zdanie jest prawdą.

**Zdanie 2. - Fałsz**

Równanie okręgu zapisujemy w postaci \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\), gdzie \(r\) to promień okręgu. Z podanego równania odczytujemy \(r^2 = 5\), więc \(r = \sqrt{5}\). Promień okręgu wynosi \(\sqrt{5}\), a nie \(5\). Zdanie jest fałszem.

**b)**

Z równania okręgu \(\mathcal{O}\) odczytujemy, że jego środek to \(S = (1, -2)\), a promień \(r = \sqrt{5}\).

Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych zmienia współrzędne \((x, y)\) na \((-x, -y)\). Zatem środek obrazu okręgu to \(S' = (-1, 2)\), a promień pozostaje bez zmian.

Równanie okręgu \(\mathcal{K}\) to:

$$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 5$$

Odpowiedź: D.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2024