---
route: /task/matura-czerwiec-2024-28
title: Zadanie matura-czerwiec-2024-28
source: Matura czerwiec 2024
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2024-28

**Źródło:** Matura czerwiec 2024
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Bok kwadratu \(A B C D\) ma długość równą \(12\). Punkt \(S\) jest środkiem boku \(B C\) tego kwadratu. Na odcinku \(A S\) leży punkt \(P\) taki, że odcinek \(B P\) jest prostopadły do odcinka \(A S\). Oblicz długość odcinka \(BP\). Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{12\sqrt{5}}{5}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AS\).

Wiemy, że bok kwadratu ma długość \(12\), więc \(|AB| = 12\), natomiast odcinek \(BS\) ma połowę długości boku \(BC\), czyli \(|BS| = 6\). Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym \(ABS\):

$$|AS|^2 = |AB|^2 + |BS|^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180$$

$$|AS| = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$$

Krok 2. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.

Trójkąty \(ABS\) oraz \(BPS\) są podobne (oba prostokątne, z wspólnym kątem przy wierzchołku \(S\)). Skala podobieństwa wynosi:

$$k = \frac{|AS|}{|BS|} = \frac{6\sqrt{5}}{6} = \sqrt{5}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(BP\).

$$\frac{|BP|}{|AB|} = \frac{|BS|}{|AS|}$$

$$|BP| = \frac{|AB| \cdot |BS|}{|AS|} = \frac{12 \cdot 6}{6\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2024