---
route: /task/matura-czerwiec-2024-20
title: Zadanie matura-czerwiec-2024-20
source: Matura czerwiec 2024
category: Ciągi
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2024-20

**Źródło:** Matura czerwiec 2024
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n} = 2 \cdot (-1)^{n+1} + 5\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

**a)** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

A. \(3\)
B. \(7\)
C. \(50\)
D. \(100\)

**b)** Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
1. Ciąg \((a_n)\) jest malejący. P / F
2. Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny. P / F

**Prawidłowa odpowiedź:** a) C
b) FF

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**a)**

Sprawdźmy, jak zachowa się nasz ciąg dla kilku początkowych wyrazów:

$$a_{1} = 2 \cdot (-1)^{1+1} + 5 = 2 \cdot 1 + 5 = 7$$

$$a_{2} = 2 \cdot (-1)^{2+1} + 5 = 2 \cdot (-1) + 5 = 3$$

$$a_{3} = 2 \cdot (-1)^{3+1} + 5 = 2 \cdot 1 + 5 = 7$$

$$a_{4} = 2 \cdot (-1)^{4+1} + 5 = 2 \cdot (-1) + 5 = 3$$

Widzimy, że jest to ciąg, który naprzemiennie ma wartości wyrazów równe \(7\) oraz \(3\). Suma dziesięciu pierwszych wyrazów tego ciągu będzie więc sumą pięciu wyrazów równych \(7\) oraz pięciu wyrazów równych \(3\), zatem:

$$S_{10} = 5 \cdot 7 + 5 \cdot 3 = 35 + 15 = 50$$

**b)**

**Zdanie 1. - Fałsz**

Jak już ustaliliśmy, jest to ciąg, który naprzemiennie ma wyrazy równe \(7\) oraz \(3\), więc nie jest to ciąg malejący. Zdanie jest fałszem.

**Zdanie 2. - Fałsz**

Skoro jest to ciąg typu \(7, 3, 7, 3, 7, ...\), to nie jest to też ciąg geometryczny (w ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów musi być stały, a tutaj \(\frac{3}{7} \neq \frac{7}{3}\)). Zdanie jest fałszem.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2024