---
route: /task/matura-czerwiec-2024-16
title: Zadanie matura-czerwiec-2024-16
source: Matura czerwiec 2024
category: Funkcja kwadratowa
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2024-16

**Źródło:** Matura czerwiec 2024
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\), ma z osiami kartezjańskiego układu współzędnych \((x, y)\) dokładnie dwa punkty wspólne: \(M=(0,18)\) oraz \(N=(3,0)\). Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(\boldsymbol{f}\). Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(f(x)=2(x-3)^2\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Analiza położenia punktów wspólnych z osiami.

Parabola ma z osiami układu dokładnie dwa punkty wspólne: \(M = (0, 18)\) i \(N = (3, 0)\). Punkt \(M\) leży na osi \(Oy\), a punkt \(N\) na osi \(Ox\), zatem z osią \(Ox\) parabola ma dokładnie jeden punkt wspólny. Parabola, która ma z osią \(Ox\) tylko jeden punkt wspólny, jest do tej osi styczna, a punktem styczności jest jej wierzchołek. Punkt \(N = (3, 0)\) jest więc wierzchołkiem tej paraboli.

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.

Dostrzegając, że punkt \(N\) musi być wierzchołkiem paraboli (bo w innym przypadku mielibyśmy więcej punktów wspólnych z osią \(Ox\)), możemy przejść do zapisania wzoru funkcji w postaci kanonicznej \(f(x) = a(x-p)^2 + q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka. Moglibyśmy więc zapisać, że:

$$f(x) = a(x-3)^2 + 0$$

$$f(x) = a(x-3)^2$$

Krok 3. Obliczenie brakującego współczynnika \(a\).

Do pełnego wzoru brakuje nam znajomości współczynnika \(a\). Aby go poznać, wystarczy do wyznaczonej przed chwilą postaci podstawić współrzędne punktu \(M = (0, 18)\), zatem:

$$18 = a(0-3)^2$$

$$18 = a \cdot 9$$

$$a = 2$$

To oznacza, że naszą funkcję można opisać wzorem \(f(x) = 2(x-3)^2\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2024