---
route: /task/matura-czerwiec-2024-05
title: Zadanie matura-czerwiec-2024-05
source: Matura czerwiec 2024
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2024-05

**Źródło:** Matura czerwiec 2024
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(5 n^{3}-5 n\) jest podzielna przez \(30\).

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Wyłączając wspólny czynnik przed nawias, otrzymamy:

$$5n^3-5n=5n(n^2-1)$$

Teraz powinniśmy dostrzec, że \(n^2-1\) da się rozpisać zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \((a^2-b^2)=(a+b)(a-b)\), zatem mamy:

$$5n\cdot(n+1)\cdot(n-1)$$

Aby lepiej dostrzec pewne kwestie, moglibyśmy jeszcze rozpisać to w taki sposób:

$$5\cdot(n-1)\cdot n\cdot(n+1)$$

\(n-1\), \(n\) oraz \(n+1\) to nic innego jak trzy kolejne liczby naturalne, a skoro tak, to jedna z nich musi być liczbą podzielną przez \(2\), a jedna z nich będzie na pewno podzielna przez \(3\). Tym samym iloczyn tych liczb będzie podzielny przez \(6\). To sprawia, że \(5\cdot(n-1)\cdot n\cdot(n+1)\) będzie liczbą podzielną przez \(5\cdot6\), czyli przez \(30\), co należało udowodnić.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2024