---
route: /task/matura-czerwiec-2023-39
title: Zadanie matura-czerwiec-2023-39
source: Matura czerwiec 2023
category: Funkcja kwadratowa
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2023-39

**Źródło:** Matura czerwiec 2023
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Działka ma kształt trapezu. Podstawy \(AB\) i \(CD\) tego trapezu mają długości \(|AB| = 400\) m oraz \(|CD| = 100\) m. Wysokość trapezu jest równa \(75\) m, a jego kąty \(DAB\) i \(ABC\) są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie \(AB\) tego trapezu, a dwa pozostałe - \(E\) oraz \(F\) - na ramionach \(AD\) i \(BC\) trapezu (zobacz rysunek). Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia. Wskazówka: Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) oraz \(EFCD\): \[P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\]

**Prawidłowa odpowiedź:** \(50\) m x \(200\) m, \(10000\) m\(^2\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie pola trapezu \(ABCD\).

Na początek obliczmy pole trapezu \(ABCD\). Mamy wszystkie potrzebne dane, ponieważ \(a=400\), \(b=100\) oraz \(h=75\), zatem:

$$P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h=\frac{1}{2}\cdot(400+100)\cdot75=\frac{1}{2}\cdot500\cdot75=18750$$

Krok 2. Zapisanie równań.

Musimy teraz skorzystać ze wskazówki, czyli z podpowiedzi, że \(P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\).

Oznaczmy boki prostokąta jako \(x\) (poziomy) oraz \(y\) (pionowy).

Trapez \(ABFE\) będzie mieć podstawy o długości \(400\) oraz \(x\), natomiast wysokość to \(y\). Jego pole:

$$P_{ABFE}=\frac{1}{2}\cdot(400+x)\cdot y=200y+\frac{1}{2}xy$$

Trapez \(EFCD\) będzie mieć podstawy o długości \(x\) oraz \(100\), natomiast wysokość to \(75-y\). Jego pole:

$$P_{EFCD}=\frac{1}{2}\cdot(x+100)\cdot(75-y)=\frac{75}{2}x-\frac{1}{2}xy+3750-50y$$

Podstawiając do \(P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\):

$$18750=200y+\frac{1}{2}xy+\frac{75}{2}x-\frac{1}{2}xy+3750-50y$$

$$15000=150y+\frac{75}{2}x$$

$$y=-\frac{1}{4}x+100$$

Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).

Pole prostokąta \(P=x\cdot y\). Podstawiając \(y=-\frac{1}{4}x+100\):

$$P(x)=x\cdot\left(-\frac{1}{4}x+100\right)=-\frac{1}{4}x^2+100x$$

Dziedzina: \(x\in(100;400)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.

Współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\) jest ujemny, więc parabola ma ramiona skierowane do dołu - największa wartość jest w wierzchołku:

$$x_{W}=\frac{-b}{2a}=\frac{-100}{2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)}=\frac{-100}{-\frac{1}{2}}=200$$

Otrzymany wynik mieści się w dziedzinie.

Krok 5. Wyznaczenie długości drugiego boku i obliczenie pola.

$$y=-\frac{1}{4}\cdot200+100=-50+100=50$$

Pole naszego prostokąta:

$$P=200\text{ m}\cdot50\text{ m}=10000\text{ m}^2$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-644.png)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-645.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2023