---
route: /task/matura-czerwiec-2023-33
title: Zadanie matura-czerwiec-2023-33
source: Matura czerwiec 2023
category: Stereometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2023-33

**Źródło:** Matura czerwiec 2023
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku \(6\). Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość \(12\) i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

a) Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią wartość liczbową w wykropkowanym miejscu.

Objętość tego ostrosłupa jest równa ............

b) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy

A. \(\sqrt{2}\)
B. \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)
C. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
D. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

**Prawidłowa odpowiedź:** a) \(144\)
b) A

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**a)** Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Jest to ostrosłup, którego jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, czyli ta krawędź boczna o długości \(12\) jest jednocześnie wysokością tego ostrosłupa.

Krok 2. Obliczenie objętości ostrosłupa.

Ustaliliśmy już, że w podstawie mamy kwadrat o boku \(a=6\), natomiast wysokość tego ostrosłupa to \(H=12\). W takim razie:

$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot6^2\cdot 12=\frac{1}{3}\cdot36\cdot12=144$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-641.png)

**b)** Krok 1. Ustalenie najdłuższej krawędzi bocznej.

Najdłuższa krawędź boczna to ta, która łączy wierzchołek ostrosłupa z najdalszym wierzchołkiem podstawy. Skoro krawędź prostopadła ma długość \(12\), to najdłuższa krawędź biegnie do przeciwległego wierzchołka kwadratu - przez przekątną podstawy.

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.

Przekątna kwadratu o boku \(6\) ma długość \(d=6\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie tangensa nachylenia krawędzi do płaszczyzny.

Tangens odpowiada stosunkowi przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym:

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{H}{d}=\frac{12}{6\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{6\cdot2}=\frac{12\sqrt{2}}{12}=\sqrt{2}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-642.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2023