---
route: /task/matura-czerwiec-2023-32
title: Zadanie matura-czerwiec-2023-32
source: Matura czerwiec 2023
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2023-32

**Źródło:** Matura czerwiec 2023
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są punkty \(A = (1, 7)\) oraz \(P = (3, 1)\). Punkt \(P\) dzieli odcinek \(AB\) tak, że \(|AP|:|PB|=1:3\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Punkt \(B\) ma współrzędne

## Odpowiedzi

- **A.** \( (9,-5) \)
- **B.** \( (9,-17) \)
- **C.** \( (7,-11) \)
- **D.** \( (5,-5) \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Sytuacja z treści zadania wygląda mniej więcej w ten sposób:

Kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że zadanie można oprzeć na obliczaniu środków odcinków. Punkt \(P\) jest środkiem odcinka \(AS\) (znamy współrzędne \(A\) oraz \(P\), więc tak właśnie wyliczymy \(S\)), a jak już poznamy współrzędne punktu \(S\), to ponownie skorzystamy ze wzoru na środek odcinka i obliczymy współrzędne punktu \(B\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(S\).

Spójrzmy najpierw na odcinek \(AS\), którego środkiem będzie punkt \(P\). W zadaniu skorzystamy ze wzoru na środek odcinka, czyli:

$$P=\left(\frac{x_{A}+x_{S}}{2};\frac{y_{A}+y_{S}}{2}\right)$$

Znamy współrzędne \(P\) środka odcinka oraz znamy też współrzędne punktu \(A\), więc możemy wyznaczyć poszukiwane współrzędne punktu \(S\). Dla lepszej przejrzystości obliczeń możemy obliczyć oddzielnie współrzędne \(x_{S}\) oraz \(y_{S}\), zatem:

$$3=\frac{1+x_{S}}{2} \implies x_{S}=5$$

$$1=\frac{7+y_{S}}{2} \implies y_{S}=-5$$

To oznacza, że \(S=(5;-5)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).

Teraz spoglądamy na odcinek \(AB\), którego środkiem jest nasz wyznaczony przed chwilą punkt \(S\). Analogicznie więc do poprzedniego kroku, korzystamy ze wzoru na środek odcinka i wyznaczamy w ten sposób współrzędne punktu \(B\):

$$5=\frac{1+x_{B}}{2} \implies x_{B}=9$$

$$-5=\frac{7+y_{B}}{2} \implies y_{B}=-17$$

To oznacza, że \(B=(9;-17)\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-643.png)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-640.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2023