---
route: /task/matura-czerwiec-2023-31
title: Zadanie matura-czerwiec-2023-31
source: Matura czerwiec 2023
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2023-31

**Źródło:** Matura czerwiec 2023
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A = (-1, 5)\) oraz \(C = (3, -3)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole kwadratu \(ABCD\) jest równe

## Odpowiedzi

- **A.** \( 8\sqrt{10} \)
- **B.** \( 16\sqrt{5} \)
- **C.** \( 40 \)
- **D.** \( 80 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AC\).

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, ponieważ znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\).

$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$

Podstawiając do tego wzoru współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\), otrzymamy:

$$|AC|=\sqrt{(3-(-1))^2+(-3-5)^2}=\sqrt{4^2+(-8)^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}$$

W otrzymanym wyniku możemy się jeszcze pokusić o wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka, rozpisując całość jako:

$$\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot5}=4\sqrt{5}$$

Nie mniej jednak, jak się za chwilę okaże, postać \(\sqrt{80}\) będzie wygodniejsza do dalszych obliczeń.

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.

Z własności przekątnych kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem skoro nasza przekątna ma długość \(\sqrt{80}\), to możemy zapisać, że:

$$a\sqrt{2}=\sqrt{80}$$

$$a=\sqrt{40}$$

Krok 3. Obliczenie pola kwadratu.

Pole kwadratu o boku \(a=\sqrt{40}\), jest równe:

$$P=a^2=(\sqrt{40})^2=40$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2023