---
route: /task/matura-czerwiec-2023-29
title: Zadanie matura-czerwiec-2023-29
source: Matura czerwiec 2023
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2023-29

**Źródło:** Matura czerwiec 2023
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Pole równoległoboku \(ABCD\) jest równe \(40\sqrt{6}\). Bok \(AD\) tego równoległoboku ma długość \(10\), a kąt \(ABC\) równoległoboku ma miarę \(135^\circ\) (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość boku \(AB\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 8\sqrt{3} \)
- **B.** \( 8\sqrt{2} \)
- **C.** \( 16\sqrt{2} \)
- **D.** \( 16\sqrt{3} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wartości \(\sin135°\).

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na pole równoległoboku "z sinusem", czyli:

$$P=a\cdot b\cdot\sin\alpha$$

Widzimy więc, że za chwilę będziemy musieli podać wartość \(\sin135°\), a tej nie znajdziemy w tablicach trygonometrycznych. Chcąc się dowiedzieć ile jest równy \(\sin135°\), musimy skorzystać ze wzorów redukcyjnych, np.:

$$\sin(90°+\alpha)=\cos\alpha$$

Moglibyśmy więc zapisać, że:

$$\sin135°=\sin(90°+45°)=\cos45°$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\), co prowadzi nas do wniosku, że \(\sin135°=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Krok 2. Obliczenie długości boku \(AB\).

Teraz możemy już skorzystać z zapisanego wcześniej wzoru na pole równoległoboku. Długość boku \(AB\) (którą oznaczymy sobie jako \(a\)) jest jedyną niewiadomą w naszym zapisie, zatem:

$$40\sqrt{6}=a\cdot10\cdot\sin135°$$

$$40\sqrt{6}=a\cdot10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$40\sqrt{6}=a\cdot5\sqrt{2}$$

$$a=\frac{40\sqrt{6}}{5\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=8\sqrt{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2023