---
route: /task/matura-czerwiec-2023-28
title: Zadanie matura-czerwiec-2023-28
source: Matura czerwiec 2023
category: Planimetria
points: 1
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2023-28

**Źródło:** Matura czerwiec 2023
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Pole trójkąta równobocznego \(T_1\) jest równe \(\frac{(1{,}5)^2\sqrt{3}}{4}\). Pole trójkąta równobocznego \(T_2\) jest równe \(\frac{(4{,}5)^2\sqrt{3}}{4}\). Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Trójkąt \(T_2\) jest podobny do trójkąta \(T_1\) w skali

A. \(3\),
B. \(9\),

ponieważ

1. każdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii.
2. pole trójkąta \(T_2\) jest \(9\) razy większe od pola trójkąta \(T_1\).
3. bok trójkąta \(T_2\) jest o \(3\) dłuższy od boku trójkąta \(T_1\).

**Prawidłowa odpowiedź:** A2

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Wzór na pole trójkąta równobocznego to \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Z zapisanych w treści zadania pól wynika wprost, że w trójkącie \(T_{1}\) mamy bok \(a=1,5\), natomiast w trójkącie \(T_{2}\) mamy bok \(a=4,5\). Od razu więc widać, że skala podobieństwa tych trójkątów jest równa:

$$k=\frac{4,5}{1,5}=3$$

Musimy być jednak ostrożni przy zaznaczaniu poprawnej odpowiedzi. Ta skala podobieństwa jest oczywiście równa \(3\), ale nie dlatego, że bok drugiego trójkąta jest o \(3\) większy (jak sugeruje uzasadnienie numer \(3.\)), tylko dlatego, że ten bok jest \(3\) razy większy. Bardzo łatwo wpaść w pułapkę, ponieważ dość przypadkowo mamy zbieżność wyników, gdyż \(1,5+3=4,5\) oraz \(1,5\cdot3=4,5\).

Z własności trójkątów podobnych wiemy, że jeśli jakiś trójkąt jest podobny w skali \(k\), to jego pole powierzchni będzie \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku stosunek pól \(T_{2}\) do \(T_{1}\) jest właśnie równy \(9\) (czyli \(3^2\)), co dobrze widać w poniższych obliczeniach:

$$\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{(4,5)^2}{(1,5)^2}=3^2=9$$

To oznacza, że skala podobieństwa tych trójkątów jest równa \(3\), ponieważ pole trójkąta \(T_{2}\) jest \(9\) razy większe od pola trójkąta \(T_{1}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2023