---
route: /task/matura-czerwiec-2023-25
title: Zadanie matura-czerwiec-2023-25
source: Matura czerwiec 2023
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2023-25

**Źródło:** Matura czerwiec 2023
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(S\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Prosta \(l\) przecina ten okrąg w punktach \(B\) i \(C\). Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(D\), przy czym \(|BC| = 4\) i \(|CD| = 3\) (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{7}{2} \)
- **B.** \( 5 \)
- **C.** \( \sqrt{12} \)
- **D.** \( \sqrt{3}+2 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AD\).

W tym zadaniu musimy skorzystać z twierdzenia o odcinkach siecznej i stycznej. Z tego twierdzenia wynika, że między poszczególnymi bokami na siecznej oraz stycznej zajdzie następująca równość:

$$|DC|\cdot|DB|=|AD|^2$$

Podstawiając teraz dane z treści zadania do wzoru, otrzymamy:

$$3\cdot7=|AD|^2$$

$$21=|AD|^2$$

$$|AD|=\sqrt{21}$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok ma zawsze dodatnią miarę, zatem zostaje nam \(|AD|=\sqrt{21}\).

Krok 2. Obliczenie odległości punktu \(A\) od prostej \(l\).

Odległość punktu od prostej zawsze mierzymy w linii, która przechodzi przez punkt i która jest prostopadła do analizowanej prostej. W naszym przypadku odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) jest jednocześnie długością odcinka \(AC\). A skąd wiemy, że odcinek \(AC\) jest prostopadły do prostej \(l\)? Z treści zadania wynika, że odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu, a to oznacza, że trójkąt \(ABC\) jest klasycznym trójkątem wpisanym w okrąg, który oparty jest na średnicy - takie trójkąty zawsze są prostokątne.

Korzystając zatem z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ACD\), moglibyśmy zapisać, że:

$$|AC|^2+3^2=(\sqrt{21})^2$$

$$|AC|^2+9=21$$

$$|AC|^2=12$$

$$|AC|=\sqrt{12}$$

Długość odcinka musi być oczywiście dodatnia, stąd też wynika, że \(|AC|=\sqrt{12}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2023