---
route: /task/matura-czerwiec-2023-24
title: Zadanie matura-czerwiec-2023-24
source: Matura czerwiec 2023
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2023-24

**Źródło:** Matura czerwiec 2023
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary \(30^\circ\), \(45^\circ\) oraz \(105^\circ\). Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe - odpowiednio - \(a\), \(b\) oraz \(c\) (zobacz rysunek). Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami: ...................... oraz ...................... .

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\cdot c \)
- **B.** \( \frac{1}{4}\cdot a\cdot c \)
- **C.** \( \frac{\sqrt{2}}{4}\cdot a\cdot c \)
- **D.** \( \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot b\cdot c \)
- **E.** \( \frac{1}{2}\cdot b\cdot c \)
- **F.** \( \frac{1}{4}\cdot b\cdot c \)

**Prawidłowa odpowiedź:** CF

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta "z sinusem", czyli:

$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin\alpha$$

Istotne jest to, że w tym wzorze długości \(a\) oraz \(b\) to ramiona tworzące analizowany kąt \(\alpha\). Jeśli przyjrzymy się odpowiedziom, to zauważymy, że interesują nas tak naprawdę dwie sytuacje - ramiona \(a\) oraz \(c\) z kątem \(45°\) oraz ramiona \(b\) oraz \(c\) z kątem \(30°\). Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\) oraz \(\sin30°=\frac{1}{2}\), a skoro tak, to możemy zapisać dwa następujące wzory:

I wzór:

$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot\sin45°=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot a\cdot c$$

II wzór:

$$P=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot\sin30°=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\cdot b\cdot c$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-638.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2023