---
route: /task/matura-czerwiec-2023-17
title: Zadanie matura-czerwiec-2023-17
source: Matura czerwiec 2023
category: Funkcja wykładnicza
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2023-17

**Źródło:** Matura czerwiec 2023
**Kategoria:** Funkcja wykładnicza
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Masa \(m\) leku \(L\) zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą \[m(t) = m_0\cdot (0,6)^{0,25t}\] gdzie: \(m_0\) - masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili \(t = 0\) dawki leku, \(t\) - czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu \(t = 0\) zażycia leku.

a) Chory przyjął jednorazowo lek \(L\) w dawce \(200\) mg. Oblicz, ile mg leku \(L\) pozostanie w organizmie chorego po \(12\) godzinach od momentu przyjęcia dawki. Zapisz obliczenia.

b) Liczby \(m(2{,}5)\), \(m(4{,}5)\), \(m(6{,}5)\) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** a) \(43,2\) mg
b) \(\sqrt{0,6}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**a)** Z treści zadania wynika, że \(m_{0}=200\) oraz \(t=12\). Skoro tak, to podstawiając te dane do podanego wzoru, otrzymamy:

$$m(12)=200\cdot(0,6)^{0,25\cdot12}$$

$$m(12)=200\cdot(0,6)^3$$

$$m(12)=200\cdot0,216$$

$$m(12)=43,2$$

To oznacza, że w organizmie zostanie \(43,2\) mg leku.

**b)** Krok 1. Obliczenie wartości \(m(2{,}5)\) oraz \(m(4{,}5)\).

Do wyznaczenia ilorazu ciągu potrzebujemy znajomości dwóch wyrazów tego ciągu. Obliczmy zatem ile wynosi \(m(2{,}5)\) oraz \(m(4{,}5)\):

$$m(2{,}5)=m_{0}\cdot(0,6)^{0,25\cdot2,5}=m_{0}\cdot(0,6)^{0,625}$$

$$m(4{,}5)=m_{0}\cdot(0,6)^{0,25\cdot4,5}=m_{0}\cdot(0,6)^{1,125}$$

Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.

Znając dwa sąsiednie wyrazy ciągu geometrycznego, możemy bez problemu obliczyć wartość ilorazu:

$$q=\frac{m(4{,}5)}{m(2{,}5)}=\frac{m_{0}\cdot(0,6)^{1,125}}{m_{0}\cdot(0,6)^{0,625}}=(0,6)^{1,125-0,625}=(0,6)^{0,5}=\sqrt{0,6}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-wykladnicza
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2023