---
route: /task/matura-czerwiec-2023-03
title: Zadanie matura-czerwiec-2023-03
source: Matura czerwiec 2023
category: Liczby rzeczywiste
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2023-03

**Źródło:** Matura czerwiec 2023
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) reszta z dzielenia liczby \(49k^2+7k-2\) przez \(7\) jest równa \(5\).

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie dostrzeżenie, że liczbę \(-2\) możemy zastąpić sumą \(-7+5\), która także jest przecież równa \(-2\). Naszą liczbę rozpisalibyśmy więc jako:

$$49k^2+7k-7+5$$

Teraz wyłączając siódemkę przed nawias, otrzymamy:

$$7\cdot(7k^2+k-1)+5$$

Wartość \(7k^2+k-1\) jest na pewno liczbą całkowitą, ponieważ \(k\) jest całkowite.

Otrzymany wynik oznacza, że dzieląc naszą liczbę przez \(7\) otrzymalibyśmy \(7k^2+k-1\) (czyli jakąś liczbę całkowitą, która jest wynikiem tego dzielenia) i właśnie resztę równą \(5\), co należało udowodnić.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2023