---
route: /task/matura-czerwiec-2022-35
title: Zadanie 35 - Matura czerwiec 2022
source: Matura czerwiec 2022
category: Geometria analityczna
points: 5
type: open
---

# Zadanie 35 - Matura czerwiec 2022

**Źródło:** Matura czerwiec 2022
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Punkt \(A=(1,-3)\) jest wierzchołkiem trójkąta \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Punkt \(S=(5,-1)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Wierzchołek \(C\) tego trójkąta leży na prostej o równaniu \(y=x+10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(B=(9,1)\), \(C=\left(-\frac{1}{3},\frac{29}{3}\right)\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Współrzędne wierzchołka \(B\).

Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(AB\), więc \(x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\) oraz \(y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\):

$$\frac{1+x_{B}}{2}=5,\qquad \frac{-3+y_{B}}{2}=-1$$

$$x_{B}=9,\qquad y_{B}=1,\qquad B=(9,1)$$

Krok 2. Prosta, na której leży wierzchołek \(C\).

Z równości \(|AC|=|BC|\) wynika, że punkt \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\), czyli na prostej prostopadłej do prostej \(AB\) i przechodzącej przez punkt \(S\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy:

$$a_{AB}=\frac{-1-(-3)}{5-1}=\frac{1}{2}$$

Prosta prostopadła do \(AB\) ma współczynnik kierunkowy \(-2\), a ta, która przechodzi przez punkt \(S=(5,-1)\), ma równanie:

$$y=-2(x-5)-1=-2x+9$$

Krok 3. Współrzędne wierzchołka \(C\).

Punkt \(C\) leży także na prostej \(y=x+10\), więc jego pierwsza współrzędna spełnia równanie:

$$\begin{aligned} x+10&=-2x+9\\ 3x&=-1\\ x&=-\frac{1}{3} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} y&=-\frac{1}{3}+10=\frac{29}{3}\\ C&=\left(-\frac{1}{3},\frac{29}{3}\right) \end{aligned}$$

**Odpowiedź:** \(B=(9,1)\), \(C=\left(-\frac{1}{3},\frac{29}{3}\right)\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2022