---
route: /task/matura-czerwiec-2022-33
title: Zadanie 33 - Matura czerwiec 2022
source: Matura czerwiec 2022
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie 33 - Matura czerwiec 2022

**Źródło:** Matura czerwiec 2022
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\). Podstawa \(AB\) tego trapezu jest równa \(26\), a ramię \(BC\) ma długość \(24\). Przekątna \(AC\) tego trapezu jest prostopadła do ramienia \(BC\) (zobacz rysunek). Oblicz długość ramienia \(AD\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(|AD|=\frac{120}{13}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Długość przekątnej \(AC\).

Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny, a kąt prosty leży przy wierzchołku \(C\). Z twierdzenia Pitagorasa:

$$\begin{aligned} |AC|^{2}+|BC|^{2}&=|AB|^{2}\\ |AC|^{2}&=26^{2}-24^{2}\\ |AC|^{2}&=676-576=100\\ |AC|&=10 \end{aligned}$$

Krok 2. Podobieństwo trójkątów \(DCA\) i \(CAB\).

Podstawy \(AB\) i \(CD\) są równoległe, więc kąty naprzemianległe \(CAB\) i \(DCA\) mają równe miary. Kąt \(CDA\) jest prosty, bo trapez jest prostokątny, a kąt \(ACB\) jest prosty z założenia. Trójkąty \(DCA\) i \(CAB\) są więc podobne (cecha kąt, kąt, kąt). Bokowi \(AD\) odpowiada bok \(BC\), a bokowi \(AC\) odpowiada bok \(AB\):

$$\frac{|AD|}{|BC|}=\frac{|AC|}{|AB|}$$

Krok 3. Obliczenie długości ramienia \(AD\).

$$|AD|=\frac{|AC|\cdot|BC|}{|AB|}=\frac{10\cdot 24}{26}=\frac{120}{13}$$

**Odpowiedź:** \(|AD|=\frac{120}{13}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2022