---
route: /task/matura-czerwiec-2022-30
title: Zadanie 30 - Matura czerwiec 2022
source: Matura czerwiec 2022
category: Wyrażenia algebraiczne
points: 2
type: open
---

# Zadanie 30 - Matura czerwiec 2022

**Źródło:** Matura czerwiec 2022
**Kategoria:** Wyrażenia algebraiczne
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(x\ne y\) prawdziwa jest nierówność \[\left(\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}y\right)^{2}\lt\frac{x^{2}+4y^{2}}{5}\]

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Rozwinięcie lewej strony.

$$\left(\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}y\right)^{2}=\frac{1}{25}x^{2}+\frac{8}{25}xy+\frac{16}{25}y^{2}$$

Krok 2. Przekształcenia równoważne.

Po pomnożeniu obu stron przez \(25\) nierówność jest równoważna kolejno nierównościom:

$$\begin{aligned} x^{2}+8xy+16y^{2}&\lt 5x^{2}+20y^{2}\\ 0&\lt 4x^{2}-8xy+4y^{2}\\ 0&\lt 4(x-y)^{2} \end{aligned}$$

Krok 3. Uzasadnienie ostatniej nierówności.

Z założenia \(x\ne y\), więc \(x-y\ne 0\) i kwadrat \((x-y)^{2}\) jest liczbą dodatnią. Zatem \(4(x-y)^{2}\gt 0\), a nierówność wyjściowa, równoważna tej nierówności, też jest prawdziwa.

**Wniosek:** Dla każdych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x\ne y\), zachodzi nierówność \(\left(\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}y\right)^{2}\lt\frac{x^{2}+4y^{2}}{5}\), co należało wykazać.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/wyrazenia-algebraiczne
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2022