---
route: /task/matura-czerwiec-2022-18
title: Zadanie 18 - Matura czerwiec 2022
source: Matura czerwiec 2022
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie 18 - Matura czerwiec 2022

**Źródło:** Matura czerwiec 2022
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny. Odcinek \(AD\) jest wysokością tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka \(A\) na przeciwprostokątną \(BC\). Wtedy

## Odpowiedzi

- **A.** \(\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}\)
- **B.** \(\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AD|}\)
- **C.** \(\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|AC|}{|AB|}\)
- **D.** \(\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|BC|}{|BD|}\)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Kąty trójkąta \(ABC\).

Odcinek \(BC\) jest przeciwprostokątną, więc kąt prosty leży przy wierzchołku \(A\). Niech \(\beta=|\sphericalangle ABC|\). Wtedy \(|\sphericalangle ACB|=90^\circ-\beta\).

Krok 2. Sinus kąta \(\beta\) w dwóch trójkątach prostokątnych.

W trójkącie \(ABD\) kąt prosty leży przy wierzchołku \(D\), więc:

$$\sin\beta=\frac{|AD|}{|AB|}$$

W trójkącie \(ADC\) kąt prosty też leży przy wierzchołku \(D\), a kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(90^\circ-\beta\), więc:

$$\frac{|CD|}{|AC|}=\cos(90^\circ-\beta)=\sin\beta$$

Krok 3. Porównanie.

$$\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}$$

Ta sama równość wynika z podobieństwa trójkątów \(ABD\) i \(CAD\) (cecha kąt, kąt, kąt).

**Odpowiedź: A.**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2022