---
route: /task/matura-czerwiec-2021-35
title: Zadanie 35 - Matura czerwiec 2021
source: Matura czerwiec 2021
category: Geometria analityczna
points: 5
type: open
---

# Zadanie 35 - Matura czerwiec 2021

**Źródło:** Matura czerwiec 2021
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Podstawa \(AB\) trójkąta równoramiennego \(ABC\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=-2x+16\). Wierzchołki \(B\) i \(C\) mają współrzędne \(B=(3,10)\) i \(C=(-2,3)\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(A\) i pole trójkąta \(ABC\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(A=\left(\frac{33}{5},\frac{14}{5}\right)\), \(P_{ABC}=\frac{153}{5}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Prosta zawierająca wysokość z wierzchołka \(C\).

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest jednocześnie środkową, więc jej spodek \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\). Prosta \(CD\) jest prostopadła do prostej \(y=-2x+16\), więc jej współczynnik kierunkowy \(a\) spełnia warunek \(a\cdot(-2)=-1\), czyli \(a=\frac{1}{2}\). Prosta przechodzi przez punkt \(C=(-2,3)\):

$$3=\frac{1}{2}\cdot(-2)+b \iff b=4$$

Prosta \(CD\) ma równanie \(y=\frac{1}{2}x+4\).

Krok 2. Środek podstawy \(D\).

Punkt \(D\) jest punktem przecięcia prostych \(AB\) i \(CD\):

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}x+4&=-2x+16\\ \frac{5}{2}x&=12\\ x&=\frac{24}{5} \end{aligned}$$

$$y=-2\cdot\frac{24}{5}+16=\frac{32}{5}$$

Zatem \(D=\left(\frac{24}{5},\frac{32}{5}\right)\).

Krok 3. Współrzędne wierzchołka \(A\).

Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\), więc:

$$\frac{x_A+3}{2}=\frac{24}{5}\quad \text{i}\quad \frac{y_A+10}{2}=\frac{32}{5}$$

$$\begin{aligned} x_A&=\frac{48}{5}-3=\frac{33}{5}\\ y_A&=\frac{64}{5}-10=\frac{14}{5} \end{aligned}$$

Zatem \(A=\left(\frac{33}{5},\frac{14}{5}\right)\). Sprawdzenie: \(-2\cdot\frac{33}{5}+16=\frac{14}{5}\), więc punkt \(A\) leży na prostej \(AB\).

Krok 4. Długości podstawy i wysokości.

$$\begin{aligned} |AB|&=\sqrt{\left(3-\frac{33}{5}\right)^2+\left(10-\frac{14}{5}\right)^2}=\\ &=\sqrt{\frac{324}{25}+\frac{1296}{25}}=\\ &=\sqrt{\frac{1620}{25}}=\frac{18\sqrt{5}}{5} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} |CD|&=\sqrt{\left(\frac{24}{5}+2\right)^2+\left(\frac{32}{5}-3\right)^2}=\\ &=\sqrt{\frac{1156}{25}+\frac{289}{25}}=\\ &=\sqrt{\frac{1445}{25}}=\frac{17\sqrt{5}}{5} \end{aligned}$$

Krok 5. Pole trójkąta \(ABC\).

$$\begin{aligned} P_{ABC}&=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot|CD|=\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{18\sqrt{5}}{5}\cdot\frac{17\sqrt{5}}{5}=\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{306\cdot 5}{25}=\frac{153}{5} \end{aligned}$$

**Odpowiedź:** \(A=\left(\frac{33}{5},\frac{14}{5}\right)\), \(P_{ABC}=\frac{153}{5}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2021