---
route: /task/matura-czerwiec-2021-33
title: Zadanie 33 - Matura czerwiec 2021
source: Matura czerwiec 2021
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie 33 - Matura czerwiec 2021

**Źródło:** Matura czerwiec 2021
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W trójkącie \(ABC\) boki \(BC\) i \(AC\) są równej długości. Prosta \(k\) jest prostopadła do podstawy \(AB\) tego trójkąta i przecina boki \(AB\) oraz \(BC\) w punktach - odpowiednio - \(D\) i \(E\). Pole czworokąta \(ADEC\) jest \(17\) razy większe od pola trójkąta \(BED\). Oblicz \(\frac{|CE|}{|EB|}\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{|CE|}{|EB|}=2\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Pole trójkąta \(FBC\).

Niech \(F\) oznacza spodek wysokości trójkąta \(ABC\) poprowadzonej z wierzchołka \(C\). Trójkąt jest równoramienny, więc wysokość \(CF\) dzieli go na dwa przystające trójkąty o równych polach. Czworokąt \(ADEC\) i trójkąt \(BED\) składają się na cały trójkąt \(ABC\):

$$\begin{aligned} P_{ABC}&=P_{ADEC}+P_{BED}=\\ &=17P_{BED}+P_{BED}=18P_{BED} \end{aligned}$$

Stąd:

$$P_{FBC}=\frac{1}{2}P_{ABC}=9P_{BED}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/figures/matura-czerwiec-2021-33-solution-0-ea4d8234.png)

Krok 2. Podobieństwo trójkątów \(BED\) i \(BCF\).

Prosta \(k\) i wysokość \(CF\) są prostopadłe do \(AB\), więc są równoległe. Trójkąty \(BED\) i \(BCF\) mają wspólny kąt przy wierzchołku \(B\) oraz kąty proste przy wierzchołkach \(D\) i \(F\), więc są podobne (cecha kąt, kąt, kąt).

Krok 3. Skala podobieństwa.

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa:

$$\begin{aligned} \frac{P_{FBC}}{P_{BED}}=\left(\frac{|BC|}{|EB|}\right)^2&=9\\ \frac{|BC|}{|EB|}&=3 \end{aligned}$$

Krok 4. Obliczenie szukanego stosunku.

Punkt \(E\) leży na boku \(BC\), więc \(|BC|=|BE|+|EC|=3|EB|\), skąd \(|CE|=2|EB|\):

$$\frac{|CE|}{|EB|}=2$$

**Odpowiedź:** \(\frac{|CE|}{|EB|}=2\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2021