---
route: /task/matura-czerwiec-2021-31
title: Zadanie 31 - Matura czerwiec 2021
source: Matura czerwiec 2021
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie 31 - Matura czerwiec 2021

**Źródło:** Matura czerwiec 2021
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla wszystkich liczb naturalnych \(n\ge 1\). Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(20a_{21}+62\). Oblicz różnicę ciągu \((a_n)\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(r=-\frac{31}{105}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Suma dwudziestu początkowych wyrazów.

Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu. Ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$$\begin{aligned} S_{20}&=\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot 20=\\ &=\frac{a_1+a_1+19r}{2}\cdot 20=\\ &=20a_1+190r \end{aligned}$$

Krok 2. Zapis wyrazu \(a_{21}\).

Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{21}=a_1+20r\), więc:

$$20a_{21}+62=20a_1+400r+62$$

Krok 3. Równanie z treści zadania.

$$\begin{aligned} 20a_1+190r&=20a_1+400r+62\\ -210r&=62\\ r&=-\frac{62}{210}=-\frac{31}{105} \end{aligned}$$

**Odpowiedź:** \(r=-\frac{31}{105}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2021