---
route: /task/matura-czerwiec-2021-30
title: Zadanie 30 - Matura czerwiec 2021
source: Matura czerwiec 2021
category: Wyrażenia algebraiczne
points: 2
type: open
---

# Zadanie 30 - Matura czerwiec 2021

**Źródło:** Matura czerwiec 2021
**Kategoria:** Wyrażenia algebraiczne
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a\), \(b\) i \(c\) takich, że \(\frac{a+b}{2}\gt c\) i \(\frac{b+c}{2}\gt a\), prawdziwa jest nierówność \[\frac{a+c}{2}\lt b\]

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Dodanie nierówności stronami.

Obie nierówności z założenia mają ten sam zwrot, więc można je dodać stronami:

$$\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}\gt c+a$$

Krok 2. Przekształcenie otrzymanej nierówności.

Po rozpisaniu lewej strony:

$$\begin{aligned} \frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}&\gt c+a\\ \frac{a}{2}+b+\frac{c}{2}&\gt a+c \end{aligned}$$

Po odjęciu od obu stron sumy \(\frac{a}{2}+\frac{c}{2}\):

$$b\gt \frac{a}{2}+\frac{c}{2}=\frac{a+c}{2}$$

**Wniosek:** dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a\), \(b\), \(c\) spełniających oba założenia zachodzi nierówność \(\frac{a+c}{2}\lt b\), co należało wykazać.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/wyrazenia-algebraiczne
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2021