---
route: /task/matura-czerwiec-2021-20
title: Zadanie 20 - Matura czerwiec 2021
source: Matura czerwiec 2021
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie 20 - Matura czerwiec 2021

**Źródło:** Matura czerwiec 2021
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę \(120^\circ\), a najdłuższy bok ma długość \(12\) (zobacz rysunek). Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą

## Odpowiedzi

- **A.** \(6\)
- **B.** \(2\sqrt{3}\)
- **C.** \(4\sqrt{3}\)
- **D.** \(6\sqrt{3}\)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Długość ramion.

Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta \(120^\circ\) dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o kątach \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\) i dzieli podstawę na połowy. W każdym z nich przyprostokątna długości \(6\) leży naprzeciw kąta \(60^\circ\), a ramię \(b\) jest przeciwprostokątną:

$$\begin{aligned} \frac{6}{b}&=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ b&=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3} \end{aligned}$$

Krok 2. Wysokość opuszczona na podstawę.

Ta wysokość leży naprzeciw kąta \(30^\circ\), więc jest równa połowie ramienia:

$$h_1=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$$

Krok 3. Wysokość opuszczona na ramię.

Pole trójkąta jest równe \(\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}\), więc wysokość \(h_2\) opuszczona na ramię spełnia równanie:

$$\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot h_2=12\sqrt{3} \iff h_2=6$$

Krok 4. Wybór najkrótszej wysokości.

Najkrótsza jest wysokość opuszczona na najdłuższy bok: \(2\sqrt{3}\approx 3{,}46\lt 6\).

**Odpowiedź: B.**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2021