---
route: /task/matura-czerwiec-2021-19
title: Zadanie 19 - Matura czerwiec 2021
source: Matura czerwiec 2021
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie 19 - Matura czerwiec 2021

**Źródło:** Matura czerwiec 2021
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Jeden z boków równoległoboku ma długość równą \(5\). Przekątne tego równoległoboku mogą mieć długości

## Odpowiedzi

- **A.** \(4\) i \(6\)
- **B.** \(4\) i \(3\)
- **C.** \(10\) i \(10\)
- **D.** \(5\) i \(5\)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Trójkąt zbudowany z boku i połówek przekątnych.

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy. Bok długości \(5\) i połówki przekątnych \(\frac{p}{2}\), \(\frac{q}{2}\) tworzą trójkąt, więc musi zachodzić nierówność trójkąta:

$$\frac{p}{2}+\frac{q}{2}\gt 5\quad \text{oraz}\quad \left|\frac{p}{2}-\frac{q}{2}\right|\lt 5$$

Krok 2. Sprawdzenie odpowiedzi.

W odpowiedzi A połówki przekątnych mają długości \(2\) i \(3\), a ich suma \(5\) nie jest większa od \(5\). W odpowiedzi B suma połówek \(2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}\) jest mniejsza od \(5\). W odpowiedzi D suma połówek \(\frac{5}{2}+\frac{5}{2}\) jest równa \(5\). Tylko w odpowiedzi C połówki \(5\) i \(5\) spełniają oba warunki: \(5+5\gt 5\) oraz \(|5-5|\lt 5\).

Przykładem takiego równoległoboku jest prostokąt o bokach \(5\) i \(5\sqrt{3}\), którego przekątne mają długość \(\sqrt{25+75}=10\).

**Odpowiedź: C.**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2021