---
route: /task/matura-czerwiec-2021-18
title: Zadanie 18 - Matura czerwiec 2021
source: Matura czerwiec 2021
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie 18 - Matura czerwiec 2021

**Źródło:** Matura czerwiec 2021
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\) o bokach \(|AC|=24\), \(|BC|=10\), \(|AB|=26\). Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek). Odległość \(x\) punktu \(P\) od przeciwprostokątnej \(AB\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \(2\)
- **B.** \(4\)
- **C.** \(\frac{5}{2}\)
- **D.** \(\frac{13}{3}\)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Punkt przecięcia dwusiecznych.

Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w środku okręgu wpisanego w ten trójkąt, więc odległość \(x\) punktu \(P\) od każdego boku jest równa promieniowi \(r\) tego okręgu.

Krok 2. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny.

Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(a\), \(b\) i przeciwprostokątnej \(c\) promień okręgu wpisanego jest równy \(r=\frac{a+b-c}{2}\):

$$x=r=\frac{24+10-26}{2}=\frac{8}{2}=4$$

Ten sam wynik daje porównanie pól: \(P=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 10=120\) oraz \(P=\frac{1}{2}\cdot r\cdot(24+10+26)=30r\), skąd \(r=4\).

**Odpowiedź: B.**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2021