---
route: /task/matura-czerwiec-2019-34
title: Zadanie matura-czerwiec-2019-34
source: Matura czerwiec 2019
category: Potęgi i pierwiastki
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2019-34

**Źródło:** Matura czerwiec 2019
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt rozwartokątny \(ABC\), w którym \(\sphericalangle ACB\) ma miarę \(120^\circ \). Ponadto wiadomo, że \(|BC|=10\) i \(|AB|=10\sqrt{7}\) (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta \(ABC\).

**Prawidłowa odpowiedź:** |AC| = 20

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

W tym zadaniu musimy zauważyć, że dorysowując wysokość padającą na bok \(CA\) utworzy nam się tak naprawdę połowa trójkąta równobocznego. Wszystko wyjaśni poniższy rysunek:

Kąt \(DCB\) ma na pewno miarę \(60°\), gdyż jest to kąt przyległy do kąta \(120°\), a suma kątów przyległych musi być równa \(180°\).

Krok 2. Obliczenie wysokości \(BD\).

Wysokość trójkąta równobocznego obliczymy korzystając ze wzoru:

$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Wiemy, że bok naszego trójkąta równobocznego ma długość \(a=10\), bo odcinek \(|BC|=10\). Zatem:

$$h=\frac{10\sqrt{3}}{2} \\

h=5\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości \(DA\).

Spójrzmy teraz na trójkąt \(DAB\). Jest to trójkąt prostokątny w którym znamy długości dwóch boków: \(BD=5\sqrt{3}\) oraz \(|AB|=10\sqrt{7}\). Korzystając zatem z Twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość odcinka \(DA\):

$$|BD|^2+|DA|^2=|AB|^2 \\

(5\sqrt{3})^2+|DA|^2=(10\sqrt{7})^2 \\

25\cdot3+|DA|^2=100\cdot7 \\

75+|DA|^2=700 \\

|DA|^2=625 \\

|DA|=25 \quad\lor\quad |DA|=-25$$

Ujemny wynik tego równania kwadratowego oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. W związku z tym \(|DA|=25\).

Krok 4. Obliczenie długości \(DC\).

Długość \(DC\) zgodnie z własnościami trójkątów równobocznych jest równa połowie długości boku trójkąta (bo wysokość dzieli nam podstawę tego trójkąta na dwie równe części). Stąd też:

$$|DC|=10:2 \\

|DC|=5$$

Krok 5. Obliczenie długości \(CA\).

Wiemy już, że \(|DA|=25\). Wiemy też, że \(|DC|=5\). Różnica tych dwóch długości da nam odpowiedź na to jaką długość ma nasz poszukiwany odcinek \(CA\):

$$|CA|=|DA|-|DC| \\

|CA|=25-5 \\

|CA|=20$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-343.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2019