---
route: /task/matura-czerwiec-2019-30
title: Zadanie matura-czerwiec-2019-30
source: Matura czerwiec 2019
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2019-30

**Źródło:** Matura czerwiec 2019
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W ciągu geometrycznym przez \(S_n\) oznaczamy sumę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych \(n\ge1\). Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: \(S_1=2\) i \(S_2=12\). Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.

**Prawidłowa odpowiedź:** q = 5,\; a_5 = 1250

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego i drugiego wyrazu.

\(S_{1}\) to suma pierwszego wyrazu, czyli tak naprawdę jest to wartość \(a_{1}\). Możemy więc od razu zapisać, że \(a_{1}=2\).

\(S_{2}\) to suma dwóch pierwszych wyrazów, czyli \(a_{1}+a_{2}\). Wartość \(a_{1}\) już znamy i jest to \(2\), zatem:

$$a_{1}+a_{2}=12 \\

2+a_{2}=12 \\

a_{2}=10$$

Krok 2. Obliczenie iloczynu tego ciągu.

Skoro znamy wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{2}\) to bez problemu możemy wyznaczyć wartość ilorazu \(q\):

$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\

q=\frac{10}{2} \\

q=5$$

Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu.

Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze wyznaczyć wartość piątego wyrazu. Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\

a_{5}=a_{1}\cdot q^{5-1} \\

a_{5}=a_{1}\cdot q^{4}$$

Podstawiając znane nam dane, czyli \(a_{1}=2\) oraz \(q=5\) otrzymamy:

$$a_{5}=2\cdot5^4 \\

a_{5}=2\cdot625 \\

a_{5}=1250$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2019