---
route: /task/matura-czerwiec-2019-23
title: Zadanie matura-czerwiec-2019-23
source: Matura czerwiec 2019
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2019-23

**Źródło:** Matura czerwiec 2019
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) ściany \(ABCD\) sześcianu przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek). Tangens kąta, jaki odcinek \(PH\) tworzy z płaszczyzną \(ABCD\), jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- **B.** \( \frac{1}{2} \)
- **C.** \( 1 \)
- **D.** \( \sqrt{2} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

W sześcianie wszystkie krawędzie mają jednakową długość, oznaczmy ją jako \(a\). Dodatkowo zaznaczmy interesujący nas kąt, czyli kąt między odcinkiem \(PH\) i płaszczyzną podstawy:

Aby obliczyć wartość tangensa naszego kąta będziemy potrzebować długości dwóch przyprostokątnych trójkąta \(DPH\). Wiemy już, że \(|DH|=a\), musimy jeszcze wyznaczyć długość odcinka \(DP\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(DP\).

Odcinek \(DP\) to połowa przekątnej kwadratu znajdującego się w podstawie. Skoro w podstawie mamy kwadrat o boku \(a\), to jego cała przekątna ma długość \(a\sqrt{2}\). Nasz odcinek \(DP\) jest połową tej długości, czyli:

$$|DP|=\frac{1}{2}a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Krok 3. Obliczenie wartości tangensa.

Znamy długości dwóch przyprostokątnych, więc jesteśmy w stanie wyznaczyć poszukiwaną wartość tangensa naszego kąta:

$$tgα=\frac{|DH|}{|DP|} \\

tgα=\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} \\

tgα=a:\frac{a\sqrt{2}}{2} \\

tgα=a\cdot\frac{2}{a\sqrt{2}} \\

tgα=\frac{2}{\sqrt{2}}$$

Usuwając niewymierność z mianownika otrzymamy:

$$tgα=\frac{2}{\sqrt{2}} \\

tgα=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\

tgα=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-338.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2019