---
route: /task/matura-czerwiec-2019-22
title: Zadanie matura-czerwiec-2019-22
source: Matura czerwiec 2019
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2019-22

**Źródło:** Matura czerwiec 2019
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(4\). Krawędź boczna \(DS\) jest prostopadła do podstawy i ma długość \(3\) (zobacz rysunek). Pole ściany \(BCS\) tego ostrosłupa jest równe

## Odpowiedzi

- **A.** \( 20 \)
- **B.** \( 10 \)
- **C.** \( 16 \)
- **D.** \( 12 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Dostrzeżenie, że trójkąt \(BCS\) jest prostokątny.

Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie tego, iż trójkąt \(BCS\) jest prostokątny (gdzie \(|\sphericalangle BCS|=90°\). Skąd to wiemy, skoro z rysunku takiej informacji nie możemy odczytać? Obliczmy długości poszczególnych boków tego trójkąta.

Długość boku \(CS\):

Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(DCS\). Dolna przyprostokątna ma długość \(|DC|=4\), boczna przyprostokątna ma długość \(|DS|=3\), zatem z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:

$$4^2+3^2=|CS|^2 \\

16+9=|CS|^2 \\

|CS|^2=25 \\

|CS|=5 \quad\lor\quad |CS|=-5$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. W związku z tym \(|CS|=5\).

Długość boku \(BS\):

Spójrzmy na trójkąt \(BDS\). Dolna przyprostokątna to będzie przekątna naszego kwadratu znajdującego się w podstawie, czyli \(|BD|=4\sqrt{2}\). Boczna przyprostokątna ma długość \(|DS|=3\). W związku z tym:

$$3^2+(4\sqrt{2})^2=|BS|^2 \\

9+16\cdot2=|BS|^2 \\

9+32=|BS|^2 \\

|BS|^2=41 \\

|BS|=\sqrt{41} \quad\lor\quad |BS|=-\sqrt{41}$$

Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BS|=\sqrt{41}\).

W tym momencie znamy długości trzech boków naszego trójkąta \(BCS\):

$$|BC|=4 \\

|CS|=5 \\

|BS|=\sqrt{41}$$

Aby udowodnić, że jest to trójkąt prostokątny, skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa. Boki \(BC\) oraz \(CS\) to przyprostokątne, natomiast \(BS\) to przeciwprostokątna naszego trójkąta. W związku z tym:

$$|BC|^2+|CS|^2=|BS|^2 \\

4^2+5^2=(\sqrt{41})^2 \\

16+25=41 \\

41=41 \\

L=P$$

Skoro lewa strona równania jest równa prawej, to możemy być pewni, że trójkąt \(BCS\) jest trójkątem prostokątnym.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(BCS\).

Skoro jest to trójkąt prostokątny i znamy miary przyprostokątnych tego trójkąta, to obliczenie pola powierzchni jest już tylko formalnością:

$$P=\frac{1}{2}ah \\

P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot5 \\

P=2\cdot5 \\

P=10$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2019