---
route: /task/matura-czerwiec-2019-16
title: Zadanie matura-czerwiec-2019-16
source: Matura czerwiec 2019
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2019-16

**Źródło:** Matura czerwiec 2019
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) wybrano trzy punkty \(A\), \(B\), \(C\) tak, że, \(|\sphericalangle AOB|=70^\circ \), \(|\sphericalangle OAC|=25^\circ \). Cięciwa \(AC\) przecina promień \(OB\) (zobacz rysunek). Wtedy miara \(\sphericalangle OBC\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( \alpha =25^\circ \)
- **B.** \( \alpha =60^\circ \)
- **C.** \( \alpha =70^\circ \)
- **D.** \( \alpha =85^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Niech punkt przecięcia się cięciwy z odcinkiem AB to będzie punkt \(P\) (ułatwi nam to nazewnictwo kątów).

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(APO\).

Spójrzmy na trójkąt \(OAP\). Znamy miary dwóch kątów tego trójkąta, zatem jesteśmy w stanie wyznaczyć miarę także trzeciego kąta:

$$|\sphericalangle APO|=180°-25°-70°=85°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(BPC\).

Kąt \(BPC\) jest kątem wierzchołkowym z kątem \(APO\), a z własności takich kątów wiemy, że mają jednakową miarę, zatem:

$$|\sphericalangle BPC|=|\sphericalangle APO|=85°$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(ACB\).

Kąt \(ACB\) to kąt wpisany, który jest oparty na tym samym łuku co znany nam kąt środkowy o mierze \(70°\). Z własności kątów wpisanych i środkowych, które są oparte na tym samym łuku, wiemy że miara kąta wpisanego musi być dwukrotnie mniejsza od miary kąta środkowego, zatem:

$$|\sphericalangle ACB|=70°:2=35°$$

Krok 4. Wyznaczenie miary kąta \(PBC\).

Spójrzmy teraz na trójkąt \(PBC\). Znamy miary dwóch kątów w tym trójkącie, a jedyną niewiadomą jest poszukiwana przez nas miara kąta \(PBC\). Skoro suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), to:

$$|\sphericalangle PBC|=180°-85°-35°=60°$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2019