---
route: /task/matura-czerwiec-2019-12
title: Zadanie matura-czerwiec-2019-12
source: Matura czerwiec 2019
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2019-12

**Źródło:** Matura czerwiec 2019
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \in (0^\circ , 180^\circ )\) oraz wiadomo, że \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha =-\frac{3}{8}\). Wartość wyrażenia \((\cos \alpha -\sin \alpha )^2+2\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{15}{4} \)
- **B.** \( \frac{9}{4} \)
- **C.** \( \frac{27}{8} \)
- **D.** \( \frac{21}{8} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:

$$(\cosα-\sinα)^2+2=cos^2α-2\cdot cosα\cdot sinα+sin^2α+2$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2=1\). Dodatkowo z treści zadania wynika, że \(sinα\cdot cosα=-\frac{3}{8}\), zatem całość możemy rozpisać następująco:

$$cos^2α-2\cdot cosα\cdot sinα+sin^2α+2 \\

sin^2α+cos^2α-2\cdot cosα\cdot sinα+2 \\

1-2\cdot\left(-\frac{3}{8}\right)+2 \\

1-\left(-\frac{3}{4}\right)+2 \\

3+\frac{3}{4}=3\frac{3}{4}=\frac{15}{4}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2019