---
route: /task/matura-czerwiec-2019-09
title: Zadanie matura-czerwiec-2019-09
source: Matura czerwiec 2019
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2019-09

**Źródło:** Matura czerwiec 2019
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla liczb naturalnych \(n\ge1\), o wyrazach dodatnich. Jeśli \(a_2+a_9=a_4+a_k\), to \(k\) jest równe

## Odpowiedzi

- **A.** \( 8 \)
- **B.** \( 7 \)
- **C.** \( 6 \)
- **D.** \( 5 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Rozpisanie poszczególnych wyrazów ciągu.

Rozpiszmy drugi, dziewiąty oraz czwarty wyraz ciągu korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). Otrzymamy wtedy, że:

$$a_{2}=a_{1}+r \\

a_{9}=a_{1}+8r \\

a_{4}=a_{1}+3r$$

Krok 2. Podstawienie rozpisanych wyrazów do wyrażenia z treści zadania.

Podstawiając teraz wyznaczone przed chwilą wyrazy do wyrażenia z treści zadania otrzymamy:

$$a_{2}+a_{9}=a_{4}+a_{k} \\

a_{1}+r+a_{1}+8r=a_{1}+3r+a_{k} \\

2a_{1}+9r=a_{1}+3r+a_{k} \\

a_{k}=a_{1}+6r$$

Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu wiemy, że wartość \(a_{1}+6r=a_{7}\), więc wychodzi nam, że \(a_{k}=a_{7}\). To oznacza, że \(a_{k}\) jest siódmym wyrazem naszego ciągu, czyli \(k=7\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2019