---
route: /task/matura-czerwiec-2019-02
title: Zadanie matura-czerwiec-2019-02
source: Matura czerwiec 2019
category: Logarytmy
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2019-02

**Źródło:** Matura czerwiec 2019
**Kategoria:** Logarytmy
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Liczba \(\frac{\log_327}{\log_3\sqrt{27}}\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( -\frac{1}{2} \)
- **B.** \( 2 \)
- **C.** \( -2 \)
- **D.** \( \frac{1}{2} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

To zadanie najprościej będzie rozwiązać obliczając oddzielnie \(log_{3}27\) oraz \(log_{3}\sqrt{27}\).

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego logarytmu.

Wartość logarytmu \(log_{3}27\) jesteśmy w stanie policzyć w pamięci, bo do jakiej potęgi trzeba podnieść liczbę \(3\), aby otrzymać \(27\)? Oczywiście do potęgi \(3\), gdyż \(3^3=27\). To oznacza, że:

$$log_{3}27=3$$

Krok 2. Obliczenie wartości drugiego logarytmu.

Drugi logarytm jest nieco trudniejszy, ale obliczymy go tak jak każdy inny logarytm, czyli zamieniając postać logarytmu na postać potęgi:

$$log_{3}\sqrt{27}=x \Rightarrow 3^x=\sqrt{27}$$

Aby rozwiązać to równanie to będziemy musieli teraz sprowadzić \(\sqrt{27}\) do postaci potęgi o podstawie równej \(3\). Pamiętając o tym, że \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\) otrzymamy:

$$3^x=\sqrt{27} \\

3^x=\sqrt[2]{3^3} \\

3^x=3^\frac{3}{2} \\

x=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Obliczenie wartości całego wyrażenia.

W liczniku otrzymaliśmy wartość równą \(3\), w mianowniku wyszło nam \(\frac{3}{2}\), w związku z tym:

$$\frac{log_{3}27}{log_{3}\sqrt{27}}=\frac{3}{\frac{3}{2}}=3:\frac{3}{2}=3\cdot\frac{2}{3}=2$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/logarytmy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2019