---
route: /task/matura-czerwiec-2018-34
title: Zadanie matura-czerwiec-2018-34
source: Matura czerwiec 2018
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2018-34

**Źródło:** Matura czerwiec 2018
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Punkty \(A=(-1,1)\) i \(C=(1,9)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(B=\left(\frac{43}{5},\frac{29}{5}\right)\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Spróbujmy nanieść na układ współrzędnych znane nam punkty oraz równanie prostej \(AB\), tak aby łatwiej dostrzec co musimy policzyć:

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-301.png)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.

Z treści zadania wynika, że boku \(AC\) oraz \(BC\) są równej długości. Możemy więc skorzystać ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych \(|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}\) oraz \(|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}\) i podstawić tam współrzędne naszych punktów \(A=(-1,1)\), \(C=(1,9)\) oraz \(B=(x,y)\). Otrzymamy wtedy:

$$\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\

\sqrt{(1-(-1))^2+(9-1)^2}=\sqrt{(1-x)^2+(9-y)^2} \quad\bigg/^2 \\

(1+1)^2+(9-1)^2=(1-x)^2+(9-y)^2 \\

2^2+8^2=(1-x)^2+(9-y)^2 \\

4+64=(1-x)^2+(9-y)^2 \\

(1-x)^2+(9-y)^2=68$$

Krok 3. Doprowadzenie do równania z jedną niewiadomą.

Póki co mamy równanie z dwiema niewiadomymi - \(x\) oraz \(y\). Pod wartość igreka możemy teraz podstawić równanie z treści zadania, czyli \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). Dzięki temu będziemy mieć równanie z jedną niewiadomą. I ten sposób rozwiązania jest dobry (i jest chyba najpopularniejszy), ale sprawi iż w trakcie liczenia będziemy mieć dużo ułamków na swojej drodze, przez co łatwo będzie o błąd. Możemy więc postąpić nieco sprytniej. Przekształcając równanie prostej otrzymamy:

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\

2y=x+3 \\

x=2y-3$$

Teraz możemy podstawić to równanie pod naszego iksa i otrzymamy:

$$(1-(2y-3))^2+(9-y)^2=68 \\

(1-2y+3)^2+(9-y)^2=68 \\

(4-2y)^2+(9-y)^2=68 \\

16-16y+4y^2+81-18y+y^2=68 \\

5y^2-34y+97=68 \\

5y^2-34y+29=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Powstało nam równanie kwadratowe, zatem:

Współczynniki: \(a=5,\;b=-34,\;c=29\)

$$Δ=b^2-4ac=(-34)^2-4\cdot5\cdot29=1156-580=576 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$

$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-34)-24}{2\cdot5}=\frac{34-24}{10}=\frac{10}{10}=1 \\

y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-34)+24}{2\cdot5}=\frac{34+24}{10}=\frac{58}{10}=\frac{29}{5}$$

Krok 5. Interpretacja otrzymanego wyniku i wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).

Otrzymaliśmy dwa wyniki: \(y=1\) oraz \(y=\frac{29}{5}\). Spróbujmy zatem wyznaczyć dla obu tych przypadków współrzędną iksową, podstawiając igreki np. do równania \(x=2y-3\).

Dla \(y=1\):

$$x=2\cdot1-3 \\

x=2-3 \\

x=-1$$

Otrzymaliśmy zatem współrzędne \(x=-1\) oraz \(y=1\), czyli współrzędne punktu \(A\).

Dla \(y=\frac{29}{5}\):

$$x=2\cdot\frac{29}{5}-3 \\

x=\frac{58}{5}-3 \\

x=\frac{43}{5}$$

Otrzymaliśmy zatem współrzędne \(x=\frac{43}{5}\) oraz \(y=\frac{29}{5}\) i to są właśnie współrzędne punktu \(B\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2018