---
route: /task/matura-czerwiec-2018-33
title: Zadanie matura-czerwiec-2018-33
source: Matura czerwiec 2018
category: Ciągi
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2018-33

**Źródło:** Matura czerwiec 2018
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla liczb naturalnych \(n\ge1\), wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(S_{10}=\frac{15}{4}\). Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a_1=-\frac{3}{4}\), \(r=\frac{1}{4}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Ułożenie układu równań.

Z treści zadania wynika, że możemy stworzyć następujący układ równań:

$$\begin{cases}

a_{6}=2a_{5} \\

S_{10}=\frac{15}{4}

\end{cases}$$

Aby rozwiązać ten układ równań musimy rozpisać piąty i szósty wyraz korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) oraz musimy rozpisać sumę dziesięciu wyrazów korzystając ze wzoru \(S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n\).

W związku z tym:

$$\begin{cases}

a_{1}+5r=2\cdot(a_{1}+4r) \\

\frac{2a_{1}+9r}{2}\cdot10=\frac{15}{4}

\end{cases}$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.

Zaczynając od wymnożenia odpowiednich wartości w nawiasach możemy zapisać, że:

$$\begin{cases}

a_{1}+5r=2\cdot(a_{1}+4r) \\

\frac{2a_{1}+9r}{2}\cdot10=\frac{15}{4}

\end{cases}$$

$$\begin{cases}

a_{1}+5r=2a_{1}+8r \\

(2a_{1}+9r)\cdot5=\frac{15}{4}

\end{cases}$$

$$\begin{cases}

-a_{1}-3r=0 \\

10a_{1}+45r=\frac{15}{4} \quad\bigg/\cdot4

\end{cases}$$

$$\begin{cases}

-a_{1}-3r=0 \quad\bigg/\cdot40 \\

40a_{1}+180r=15

\end{cases}$$

$$\begin{cases}

-40a_{1}-120r=0 \quad\bigg/\cdot40 \\

40a_{1}+180r=15

\end{cases}$$

Dodając równania stronami otrzymamy:

$$60r=15 \\

r=\frac{1}{4}$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.

Znając wartość \(r=\frac{1}{4}\), możemy teraz wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu, podstawiając wyznaczoną różnicę ciągu do jednego z równań np.:

$$-a_{1}-3r=0 \\

-a_{1}-3\frac{1}{4}=0 \\

-a_{1}-\frac{3}{4}=0 \\

a_{1}=-\frac{3}{4}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2018