---
route: /task/matura-czerwiec-2018-32
title: Zadanie matura-czerwiec-2018-32
source: Matura czerwiec 2018
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2018-32

**Źródło:** Matura czerwiec 2018
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(H=16\). Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(96\sqrt{41}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Narysujmy sobie tę sytuację i zaznaczmy na rysunku dane podane w treści zadania:

Krok 2. Wyznaczenie długości krawędzi bocznej.

Skoro cosinus kąta \(α\) jest równy \(\frac{3}{5}\), to zgodnie z naszymi oznaczeniami:

$$cosα=\frac{b}{c} \\

\frac{3}{5}=\frac{b}{c} \\

b=\frac{3}{5}c$$

Teraz korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

$$b^2+H^2=c^2 \\

\left(\frac{3}{5}c\right)^2+16^2=c^2 \\

\frac{9}{25}c^2+256=c^2 \\

\frac{16}{25}c^2=256 \quad\bigg/\cdot\frac{25}{16} \\

c^2=400 \\

c=20 \quad\lor\quad c=-20$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem zostaje nam \(c=20\).

Krok 3. Wyznaczenie długości przekątnej podstawy.

Nasz odcinek \(b\) jest połową długości przekątnej podstawy. Obliczmy zatem jego miarę, korzystając z danych z poprzedniego kroku. Wiedząc, że \(b=\frac{3}{5}c\) oraz \(c=20\) otrzymamy:

$$b=\frac{3}{5}\cdot20 \\

b=12$$

Skoro \(b\) jest połową długości całej przekątnej, to możemy zapisać, że przekątna ma długość:

$$d=2b \\

d=2\cdot12 \\

d=24$$

Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy.

W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat (bo jest to ostrosłup prawidłowy). Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(d=a\sqrt{2}\). My znamy długość przekątnej tego kwadratu i wiemy że jest to \(d=24\), zatem:

$$a\sqrt{2}=24 \\

a=\frac{24}{\sqrt{2}} \\

a=\frac{24\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\

a=\frac{24\sqrt{2}}{2} \\

a=12\sqrt{2}$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ściany bocznej.

Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi. Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że wysokość takiego trójkąta dzieli podstawę na dwie równe części, czyli w ścianach bocznych mamy taką oto sytuację:

W związku z tym aby obliczyć wysokość trójkąta musimy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:

$$h^2+(6\sqrt{2})^2=20^2 \\

h^2+36\cdot2=400 \\

h^2+72=400 \\

h^2=328 \\

h=\sqrt{328} \quad\lor\quad h=-\sqrt{328}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(h=\sqrt{328}\). Możemy jeszcze spróbować wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka:

$$h=\sqrt{328}=\sqrt{4\cdot82}=2\sqrt{82}$$

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni bocznej.

W ścianie bocznej mamy trójkąt o podstawie \(a=12\sqrt{2}\) oraz wysokości \(h=2\sqrt{82}\). Musimy policzyć pole powierzchni bocznej, czyli interesuje nas łączna powierzchnia wszystkich czterech ścian, zatem:

$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}ah \\

P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{2}\cdot2\sqrt{82} \\

P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{2}\cdot2\sqrt{82} \\

P_{b}=48\sqrt{164} \\

P_{b}=48\sqrt{4\cdot41} \\

P_{b}=48\cdot2\sqrt{41} \\

P_{b}=96\sqrt{41}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-299.png)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-300.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2018