---
route: /task/matura-czerwiec-2018-30
title: Zadanie matura-czerwiec-2018-30
source: Matura czerwiec 2018
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2018-30

**Źródło:** Matura czerwiec 2018
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(2\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Rozpisanie wartości poszukiwanego wyrażenia.

Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Możemy spokojnie przekształcać wszystkie zapisy, bo wiemy że kąt \(α\) jest ostry, a więc nie ma obaw że wykonamy dzielenie przez \(0\), bo \(sinα\gt0\) oraz \(cosα\gt0\). W związku z tym:

$$tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{sinα}{cosα}+\frac{1}{\frac{sinα}{cosα}}=\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}= \\

=\frac{sinα\cdot sinα}{cosα\cdot sinα}+\frac{cosα\cdot cosα}{sinα\cdot cosα}= \\

=\frac{sin^2α}{sinα\cdot cosα}+\frac{cos^2α}{sinα\cdot cosα}= \\

=\frac{sin^2α+cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{1}{sinα\cdot cosα}$$

Krok 2. Rozpisanie wartości \(sinα\cdot cosα\).

W mianowniku pojawiła nam się wartość \(sinα\cdot cosα\). Musimy wyznaczyć jej wartość, tak aby dokończyć obliczenia. Tę wartość wyznaczymy z jedynki trygonometrycznej i informacji zawartej w treści zadania, że \(sinα+cosα=\sqrt{2}\). Całość będzie wyglądać następująco:

$$sinα+cosα=\sqrt{2} \quad\bigg/^2 \\

(sinα+cosα)^2=2 \\

sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=2 \\

sin^2α+cos^2α+2sinαcosα=2 \\

1+2sinαcosα=2 \\

2sinαcosα=1 \\

sinαcosα=\frac{1}{2}$$

Krok 3. Dokończenie obliczeń.

Skoro już wiemy, że \(sinαcosα=\frac{1}{2}\), to możemy dokończyć obliczenia z kroku pierwszego:

$$\frac{1}{sinα\cdot cosα}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=1:\frac{1}{2}=1\cdot2=2$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2018